Широков Александр

Построить на координатной плоскости график уравнения yⁿ = xⁿ , если: а) n = 2k ; б) n = 2k – 1 ; в) n = –2k ; г) n = 1 – 2k (k – натуральное число). а) Запись n = 2k фактически означает натуральные чётные значения степени. Пусть k = 1, тогда n = 2 и исходное уравнение принимает вид y² = x². В случае, когда k > 1 (n ⩾ 4) можно провести следующие равносильные преобразования: yⁿ = xⁿ ⇔ y²ᵏ = x²ᵏ ⇔ (y²)ᵏ= (x²)ᵏ ⇔ ⇔ y² = x² (величины y² и x² являются неотрицательными, поэтому на третьем переходе можно извлечь корень степени k из обеих частей уравнения, не изменив его смысла). Ранее в задании А-16 рассматривалось построение графика уравнения y² = x² (и равносильного ему |y| = |x| ). Итак,в случае чётного n yⁿ = xⁿ ⇔ y² = x², следовательно, эти уравнения имеют и совпадающие множества решений, на координатной плоскости они изображаются как совокупность линий графиков функций y = x и y = –x. б) Ситуация, когда n = 2k – 1 подразумевает натуральные нечётные значения степени. Если k

Функция знака числа, называемая также «сигнум», определена для любого действительного аргумента t. Обозначается она как sgn t и принимает нулевое значение при t = 0, а при положительных и отрицательных значениях аргумента сигнум равен 1 и –1 соответственно. На основании этих сведений построить на координатной плоскости график уравнения sgn y = sgn x По определению сигнум числа x есть Для наглядности на рис. 1 приведён график функции y = sgn x. Для построения требуемого в условии графика уравнения рассмотрим три случая: а) x = 0 .Такому условию на координатной плоскости отвечают все точки, лежащие на оси ординат. Уравнение при этом преобразуется к виду sgn y = 0 Данному требованию соответствует только y = 0, таким образом при x = 0 исходное уравнение имеет ровно одно решение и ему на плоскости соответствует точка (0; 0). б) x > 0 . В этом случае исходное уравнение перепишется так: sgn y = 1 Такому условию отвечают точки, расположенные в «верхней» полуплоскости, а с учётом положительных

Функция «гиперболический косинус» обозначается как ch t и определяется так: ch t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 Построить на координатной плоскости график уравнения ch y = ch x Заметим, что ∀ t ∈ ℝ: eᵗ > 0 (читается «для любого действительного t выражение eᵗ всегда положительно»). Проведём с заданным в условии уравнением равносильные преобразования: Полученный в итоге результат говорит о том, что на координатной плоскости график исходного уравнения представляет собой совокупность линий графиков функций y = x и y = –x. Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: Сведения о новых статьях блога выкладываются в Telegram: Shuric_Himik

Построить график уравнения, если a, b – постоянные числа и a < b : Рассмотрим сначала выражение вида Оно будет иметь смысл, если стоящее под корнем произведение неотрицательно: t·|t| ⩾ 0 Так как |t| всегда больше нуля или равен ему, то чтобы выполнялось указанное неравенство необходимо и достаточно потребовать неотрицательность t. В таком случае |t| = t и С учётом этого установленного факта перейдём к рассмотрению данного в условии задачи уравнения: (предпоследний равносильный переход с заменой неравенства y ⩽ b на x ⩽ b выполнен на основании того, что y = x). В целом полученный результат говорит о том, что график рассматриваемого уравнения представляет собой отрезок, являющийся частью графика линейной функции y = x, ограничиваемой слева и справа вертикальными прямыми x = a и x = b соответственно. Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik

Построить график функции (a – постоянное действительное число): Найдём область определения данной в условии задачи функции y(x). Её выражение будет иметь смысл, когда под знаком корня стоит неотрицательная величина, то есть если (x – a)·|x – a| ⩾0 Так как модуль |x – a| всегда неотрицателен, то чтобы приведённое неравенство выполнялось, необходимо потребовать x – a ⩾ 0 или x ⩾ a Заметим, что при выполнении этого условия подмодульное выражение x – a в y(x) не будет принимать отрицательных значений. Таким образом Полученный результат говорит о том, что график функции y(x) представляет собой график линейной функции y = x, ограниченный слева вертикальной прямой x = a. Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik

Функция y = f(x) определена на интервале (a; b). Найдите область определения функции и опишите, как будет выглядеть её график, если a < 0 < b . Для удобства введём следующее обозначение: Сначала имеет смысл рассмотреть функцию g(x) = (x + |x|)/2 Раскроем для этого модуль: Для наглядности график g(x) изображён на рис. 1. Заметим, что с учётом введённых обозначений G(x) = f(g(x)) и g(0) = (0 + |0|)/2 = 0 Исходная функция y = f(x) по условию задачи определена в точке x = 0 и имеет некоторое значение, равное f(0), при этом G(0) = f(0). Рассмотрим сначала поведение функции G(x) на интервале (0; b). Так как на нём x > 0, то (x + |x|)/2 = x и G(x) = f(x). Иными словами при положительных значениях аргумента поведение G(x) ничем не отличается от поведения f(x), в том числе G(x), как и f(x), определена при x ∈ (0; b) При любых отрицательных значения x значение g(x) всегда равно нулю, поэтому G(x) = G(g(x)) = G(0) = f(0) Это приводит к тому, что G(x) определена при любом отрицательном значении ар

Найти значение интеграла (под целой частью числа x понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [x]; функция y = [x] определена на всём множестве действительных чисел). Выражение подынтегральной функции выглядит весьма сложным. Попытки найти её первообразную (чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница) вряд ли приведут к успеху, поэтому решение задачи лучше искать исходя из вида графика y(x) – построим его. Легко заметить, что y(x) есть произведение двух функций: y(x) = F(x)·G(x) , где F(x) = cos(πx/2) , Рассмотрим каждую из них по отдельности. Так как π/2 ≈ 1,57 > 1 , то график F(x) представляет собой косинусоиду, «сжатую» в π/2 раз по горизонтали – в направлении оси абсцисс (рис. 1). Заметим также, что F(x) принимает нулевые значения, если πx/2 = π/2 + xk ⇔ πx = π + 2πk ⇔ x = 1 + 2k (k ∈ ℤ), в частности F(1) = F(–1) = 0. В комментарии к задаче А-70  было показано, как из функции y = | |x| – 1 | – (|x| – 1) (см. та

Построить график функции Прежде всего найдём область определения заданной функции y(x). Легко видеть, что её выражение имеет смысл, если | 1 – |x| | ≠ 0 ⇔ 1 – |x| ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 1 ⇔ x ≠ ±1 Поскольку |–x| = |x|, то данная в условии задачи функция обладает свойством чётности: y(x) = y(–x) Благодаря этому для решения достаточно рассмотреть ситуацию, когда x ⩾ 0 (при этом будем иметь |x| = x , заодно помня, что x ≠ 1), а затем отразить полученный график в левую полуплоскость симметрично оси ординат. Выражение y(x) в этом случае упростится: Раскроем оставшийся модуль: Итак, на полуинтервале [0; 1) график y₁(x) (а равно и график y(x) ) представляет прямую горизонтальную линию y = 2, при x > 1 он есть прямая, совпадающая с осью абсцисс, в точке x = 1 функция не определена (рис. 1). Для завершения построения остаётся «отзеркалить» график y₁(x) относительно оси ординат. В комментарии к задаче А-5 упоминалось о методе инфракрасной спектроскопии (способ исследования веществ) и исполь

Найти значение интеграла Здесь не получится воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, поскольку отыскать у стоящей под интегралом функции выражение её первообразной будет, мягко говоря, затруднительно. Для решения задачи нужно отталкиваться от геометрического смысла определённого интеграла, который равен площади фигуры, ограниченной графиком подынтегральной функции и осью абсцисс, а также вертикальными линиями, соответствующими нижнему и верхнему пределам интегрирования. В задании А-65 выполнялось построение графика функции и было установлено, что он при x ⩾ 1 совпадает с графиком линейной функции y = x – 1 . Когда x ⩽ –1, то выражение y(x) совпадает с y = –x – 1, график которой также представляет прямую линию. В случае же для –1 < x < 1 функция y(x) описывает «верхнюю» половину окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рис. 1). Обозначим искомое значение интеграла как I. Из рис. 1 видно, что оно будет равно суммарной площади двух прямоугольных равнобед