Почему математики всего мира охотятся за самыми большими простыми числами

Для тех, кто забыл школьную математику, давайте напомню, что такое простые числа. Это такие «атомы» мира цифр. Их нельзя разделить на равные части (только двойку). Простое число — это натуральное число, которое делится без остатка только на единицу и на само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13 — это простые числа. А вот 4 или 6 — нет, потому что 4 делится на 2, а 6 — на 2 и на 3.

Простые числа — это как супергерои: они встречаются реже, чем обычные числа, и с каждым шагом вглубь числовой линии найти их становится всё труднее. Их бесконечно много, как и обычных чисел, но чем они больше, тем ценнее их «поимка».

Обывателю может показаться, что есть они и есть. Ну делятся они только на себя и на единицу, ну и что с того? В школе нам не объясняли, зачем они нужны, но математики всего мира ведут настоящую охоту за ними. Зачем?

Причин несколько. Первая заключается в том, что простые числа — это строительные блоки для всех остальных натуральных чисел. Любое число, например, 42, можно разложить на простые «кирпичики»: 2 • 3 • 7. Умение работать с простыми числами — это ключ к пониманию самих основ математики. Их непредсказуемое распределение — одна из величайших загадок науки.

Вторая причина — вызов технологиям. Чтобы найти новое огромное простое число, нужны не ручка и бумага, а мощные суперкомпьютеры и сложные алгоритмы. Это как стресс-тест для компьютерного «железа» и софта. Такие проекты, как GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), объединяют тысячи энтузиастов по всему миру, которые дают своим компьютерам задание искать эти числа. Это глобальная командная работа!

А самая главная причина заключается в том, что простые числа — это основа нашей цифровой безопасности. Пароли, переписки в мессенджерах и платежи в интернете защищены с помощью простых чисел. Это работает по принципу «легко умножить, но невозможно разобрать».

Как говорится, безумно интересно, но ничего не понятно, поэтому объясняю на примере. Возьмём два небольших простых числа, например, 3 и 5. Перемножаем их и получаем 15. А теперь попробуем сделать наоборот: разберём число 15 на множители. Каждый мгновенно скажет, что это 3 и 5.

Но что если взять два невероятно больших простых числа, в сотни цифр длиной? Их перемножение для компьютера — дело секунд. А вот чтобы разобрать получившееся число-монстр на два исходных простых множителя, самому мощному суперкомпьютеру в мире потребуются тысячи лет непрерывных вычислений!

Именно этот принцип лежит в основе криптографии (искусства шифрования). Банк берёт два таких огромных простых числа, перемножает их и использует результат как часть индивидуального цифрового «ключа». Этот ключ можно свободно передавать по интернету. А вот сами простые числа-«родители» хранятся в строжайшем секрете. Чтобы взломать шифр, хакеру нужно разгадать эту сложнейшую головоломку, на что у него просто нет времени.

Надеюсь, теперь вы понимаете, зачем нужны простые числа. Кстати, ноль не является простым число, потому что по определению простыми числами могут быть только натуральные (то есть числа счёта: один, два, три, четыре и так далее), а ноль не является натуральным. Из-за этого, кстати, многие ошиблись в вопросе на "Кто хочет стать миллионером?".

Если кто думает, что простые числа применяются только в криптографии, то вы не правы. Взаимно простые числа используются даже в механике. Например, количество зубьев на взаимодействующих шестерёнках часто стараются делать взаимно простыми (то есть не имеющими общих делителей). Это нужно для того, чтобы они изнашивались равномерно. Если у одной шестерни 12 зубьев, а у другой 8 (общий делитель 4), то одни и те же зубья будут встречаться друг с другом чаще, вызывая точечный износ. А если у одной 12, а у другой 7 (взаимно простые числа), износ распределится равномерно.

Ещё часто простые числа используются в программировании. К примеру, проверка на простоту, то есть создание эффективных алгоритмов для проверки огромных чисел на простоту — это целая отрасль компьютерных наук. Простые числа используются и в хэш-таблицах, например, в основе баз данных словарей, чтобы избегать коллизий (когда разные данные претендуют на одно и то же место) и равномерно распределять информацию. Но это мы уже углубляемся в довольно узкие темы, примеры которых много приводить ещё долго.

Суть в том, что простые числа — вещь гораздо более нужная, чем кажется на первый взгляд в школе. Есть теория, что даже природа использует простые числа (кому интересно, ищите информацию про «Великие восточные выводки»), вшитые в ДНК. А уж сколько математических проблем и нерешенных математических задач, связанных с простыми числами...

И напоследок небольшой вопрос: какое самое большое простое число вы знаете? А самое большое простое число, известное учёным на данный момент — 2 в степени 136 279 841 минус единица. Оно было найдено Люком Дюрантом в рамках проекта GIMPS, о котором я рассказывал выше, в октябре 2024 года и содержит 41 024 320 десятичных цифр.